Bentuk Akar - Matematika kelas X

Bentuk Akar

Bentuk akar yang tidak bulat adalah salah satu bilangan irasional.

1. Definisi bentuk akar.

Sebagaimana sudah diketahui sebelumnya, bahwa a^1/2 = √2

Dimana bahwa bentuk akar adalah suatu bilangan yang menenuhi syarat sebagai berikut:

·         Memiliki bilangan yang nilainya memuat tidak terhingga banyaknya angka di belakang koma.

·         Angka tersebut tidak berulang.

Contoh:

a. √2

b. √3

c. √8

d. √15

Sementara itu, √1, √4, √64 bukan bentuk akar karena:

·         √1= 1

·         √4 = 2

·         √64  = 8

Dimana 1, 2 dan 8 bukan bilangan irasional.

2. Menyederhanakan bentuk akar.

Bentuk akar dapat disederhanakan dengan cara mengubah bilangan di dalam akar tersebut menjadi dua bilangan;

·         Bilangan pertama yang dapat diakarkan.

·         Bilangan kedua yang tidak dapat diakarkan.

Contoh:

a. √32 = √16.2 = √16.√2 = 4√2

b. √18 = √9.2 = √9.√2 = 3√2

c. √125 = √25.5 =√25.√5 = 5√5

d. ³√81 =  ³√27.3 =(27.3)^1/3 = 27^1/3.3^1/3 = ³√27.³√3= 3. ³√3

3. Mengoperasikan bentuk akar.

a. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar.

        Dua buah akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika bentuk akarnya sejenis.

        Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar dapat mengikuti sifat berikut.

Untuk a, b bilangan real dan c bilangan rasional nonnegatif, berlaku hubungan sebagai berikut:

        a√c + b√c = (a + b)√c

        a√c - b√c = (a - b)√c

contoh:

a. 4√5 + 2√5 = (4+2)√5 = 6√5

b. 3√6 + √6 - 5√6 = (3+1-5)√6 = - √6

c. √2 + √5 + √6 , tidak dapat disederhanakan karena bentuk akarnya berlainan

d. √28 - √125 +√63  - √80 = 2√7 – 5√5 + 3√7 – 4√5 = - 9√5 + 5√7

b. Perkalian bilangan real dengan bentuk akar.

        Untuk perkalian bilangan real dengan bentuk akar, dapat menggunakan sifat berikut.

Untuk a, b bilangan real dan c bilangan rasional nonnegatif, berlaku hubungan sebagai berikut:

        a . b√5 = ab√5

contoh:

a. 6 . 3√5 = 18√5

b. 2 . √242= 2 . √121.2= 2 . 11√2 =22√2

c. 8 . 0,5√20 = 4√20 = 4 . 2√5 =8√5

d. 3 . (4√2 +√162) = 12√2 + 3√162 = 12√2 + 3 . 9√2 = 39√2

c. Perkalian bentuk akar dengan bentuk akar.

        Untuk perkalian bentuk akar dengan bentuk akar, dapat menggunakan sifat berikut.

Untuk c, e bilangan real dan a, b, c, f bilangan rasional nonnegatif, berlaku hubungan sebagai berikut:

        √a . √b = √ab

        c√d . e√f = c . e√d . f

contoh:

a. √7 . √ 6= √7.6 = √42

b. 2√2 . 3√12 = 6√24 = 6 . 2√6 = 12√6

c. 2√6 (√2+ 5√3)= (2√6 . √2) + (2√6 . 5√3)

                         = 2√12 + 10√18

                         = 2 . 2√3 + 10 . 3√2

                         = 4√3 + 30√2

d. (√8+√5)(√8 - √5) = 8 - √40 + √40 - 5

                               = 8 – 5

Dari contoh point d di atas, dapat ditulis sebagai berikut:

        (√a+√b)(√a -√b) = a – b

Bukti:

        (√a+√b)(√a-√b) = √a(√a–√b) + √b(√a–√b)

                                 = a – √a.b + √a.b – b

                                 = a – b

contoh:

a. (√15-√3) (√15+√3) = 15 – 3 = 12

b. (3√2 + 2√3) (3√2 - 2√3) = (√18+√12) (√18-√12)

                                        = 18 – 12

                                        = 6

d. Pembagian bentuk akar.

        Penyederhanaan pembagian bentuk akar sering disebut dengan merasionalisasikan penyebut bentuk pecahan. Untuk merasionalisasikan penyebut bentuk pecahan, bilangan tersebut dikalikan dengan sekawan dari penyebut.

Untuk a, b bilangan rasional nonnegatif, maka berlaku:

        1) √asekawan dengan √a

        2) (a + √b) sekawan dengan (a - √b)

        3) (√a + √b) sekawan dengan (√a - √b)

Perhatikan rasionalisasi bentuk-bentuk berikut:

1)    Bentuk a/√b

                        a/√b = (a/√b) . (√b/√b) = (a/b)√b

contoh:

a. 8/√2 = 8/√2 . √2/√2

    = 8√2/ 2   

     =4/√2

b. 10/(2√5) = 10/(2√5) . (√5)/(√5)

         = (10√5) / (2.5)

         = √5

c.     (2√5)/(√10) = (2√5)/(√10) . (√10/√10)

                = (2√10) / (10)   

                = (2√50) / 10

                = 2.5√2 / 10

                = √2

2) Bentuk c / (a + √b)

                        c / (a + √b) = (c / (a+√b)) . ((a -√b) / (a -√b))

                                          = (c (a -√b)) / (a² – b)

contoh:

a. 2 / (1 +√3) = (2 / (1 +√3)) . ((1 -√3) - (1 +√3))

                     = (2(1 -√3)) / (1 -3)

                     = -(1 -√3)

                     = -1 + √3

                     = √3 – 1

b. 8 / (5 -√17) = (8 / (5 - √17)) / ((5 + √17) / (5 + √17))

                      = (8(5 +√17)) / (5² - 17)

                      = (8(5 +√17)) / 8

                      = 5 + √17

3) Bentuk c / (√a+√b)

                        c / (√a+√b) = (c / (√a+√b)) . ((√a-√b) / (√a-√b))

                                          = (c(√a-√b)) / (a – b)

contoh:

a. (√3-√2) / (√3+√2) = ((√3-√2) / (√3+√2)) . ((√3-√2) / (√3-√2))

                                = (√3-√2)² / 3 – 2

                                = (3 – 2√6 + 2) / 1

                                = 5 – 2√6

b. (2√2) / (√5- √3) = ((2√2/ (√5-√3)) . ((√5+√3) / (√5+√3))

                           = (2√10 + 2√6) / 5 – 3

                           = √10 + √6

4. Menyelesaikan Persamaan dalam Bentuk Pangkat (Pengayaan).

Persamaan dalam bentuk pangkat dapat diselesaikan dengan 2 langkah, sebagai berikut:

1) Menyatakan ruas kiri dan kanan dalam bentuk eksponen / pangkat sehingga bilangan pokok kedua ruas tersebut sama.

2) Jika bilangan pokok kedua ruas tersebut sudah sama, langkah berikutnya adalah menyamakan kedua eksponen.

contoh:

a.     4^3x = √4096

    4^3x = 64

   4^3x = 4⁶

    3x = 6

      x = 2

b.     9^2x-1 = 27^4-3x

    (3²)^2x-1 = (3³)^4-3x

       3^4x-2 = 3^12-9x

       4x-2 = 12-9x

    4x+9x = 12+2

        13x = 14

           x = 14/13